Introduction

Terminologie

Une EDP est une équation qui fait intervenir une variable $u$ dépendante de $m$ variables indépendantes $x_1,x_2,\dots x_m$ et les dérivées partielles de $u$ par rapport à ces variables. Une telle équation est :

1. d'ordre $n$ quand la dérivée partielle d’ordre le plus élevé qu’elle contient est d’ordre $n$. Ex : $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, est d'ordre $2$, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$ est d'ordre $3$
2. homogène si elle ne contient que des termes faisant intervenir $u$ et ses dérivées partielles. Ex : $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, est d'ordre homogène, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=1$ n'est pas homogène, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=u$ non plus.
3. linéaire quand elle l’est par rapport à toutes les dérivées partielles de $u$ et par rapport à $u$. C'est à dire qu'on peut pas avoir de dérivées partielles à un $2$ par exemple ou dans une fonction trigonométrique.
4. quasi-linéaire quand elle l’est par rapport aux dérivées partielles d’ordre le plus élevé en chacune des variables. Même contrainte que linéaire mais limité aux dérivées partielles de plus grand ordre de chacune des variables.

Problème Bien Posé

Un problème est dit "bien-posé" si :

1. Le problème a une solution
2. La solution est unique
3. La solution dépend continuellement des données du problème.

Conditions Limites

Les conditions aux limites pour les équations aux dérivées partielles (EDP) sont cruciales pour déterminer une solution unique à un problème donné. Il existe trois types principaux de conditions aux limites:

1. Condition de Dirichlet : Cette condition spécifie la valeur de la solution le long d'une frontière du domaine. Par exemple, pour une EDP $u(x,t)$ définie dans un domaine $D$, la condition de Dirichlet peut être exprimée comme:$$u(x,t)=h(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ où $\partial D$ est la frontière de $D$ et $h(x,t)$ est une fonction donnée.

2. Condition de Neumann : Ici, c'est la dérivée normale de la solution qui est spécifiée à la frontière. Pour une EDP $u(x,t)$, la condition de Neumann est donnée par: $$\frac{\partial u}{\partial n}(x,t)=k(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ où $\frac{\partial u}{\partial n}$ est la dérivée de $u$ dans la direction normale à la frontière $\partial D$ et $k(x,t)$ est une fonction connue.

3. Condition de Robin (ou condition aux limites mixtes) : Cette condition est une combinaison linéaire des deux premières, où à la fois la fonction et sa dérivée normale sont spécifiées: $$a(x,t)u(x,t)+b(x,t)\frac{\partial u}{\partial n}(x,t)=g(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ avec $a(x,t)$ et $b(x,t)$ des fonctions données sur la frontière, et $g(x,t)$ une autre fonction spécifiée.

Exemples (À Vérifier) :

• Dirichlet : Pour l'équation de la chaleur $u_t={\alpha }^2{u}_{xx}$ dans une barre métallique de longueur $L$, on peut avoir une température fixe aux deux extrémités, soit $u(0,t)=T_0$ et $u(L,t)=T_L$ pour tout temps $t$.

• Neumann : Pour la même équation de la chaleur, si les extrémités de la barre sont isolées thermiquement, la dérivée de la température par rapport à $x$ est nulle aux deux bouts, donc $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0$ et $\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0$.

• Robin : Si une extrémité de la barre est en contact avec un milieu dont la température est $T_m$ et que la loi de refroidissement de Newton s'applique, alors on pourrait avoir une condition de la forme $-k\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=h(u(L,t)-T_m)$, où $k$ est la conductivité thermique et $h$ est le coefficient de transfert de chaleur.

Domaines

Les types de domaines déterminent la nature de la solution et la méthode de résolution. Les trois principaux types de domaines sont:

1. Domaine borné : Le domaine est limité dans toutes les directions. Les conditions aux limites doivent être spécifiées sur la frontière finie du domaine pour obtenir une solution unique.

   Exemple: Pour l'équation de Laplace ${\nabla }^2\varphi =0$ dans une région rectangulaire, les valeurs de $\varphi$ doivent être données sur tout le périmètre pour résoudre l'EDP.

2. Domaine non borné : Au moins dans une direction, le domaine s'étend à l'infini. Les conditions aux limites à l'infini doivent souvent supposer que la solution devient nulle ou atteint une valeur constante.

   Exemple: L'équation de la chaleur $u_t={\alpha }^2{u}_{xx}$ sur une demi-droite $x>0$ peut avoir comme condition aux limites que $u(x,t)\to 0$ lorsque $x\to \infty$.

3. Domaine périodique : Le domaine est sans limites, mais la fonction solution est périodique. Cela signifie que la solution est la même à des points équidistants.

   Exemple: L'équation des ondes $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$ sur un cercle (modélisant une corde vibrante circulaire) requiert que $u(x,t)=u(x+L,t)$ où $L$ est la longueur de la corde.

Exemples détaillés :

• Domaine borné : Considérons l'équation de Poisson $-{\nabla }^2\varphi =\rho$ dans un carré avec des conditions de Dirichlet telles que $\varphi (x,y)=g(x,y)$ sur les bords du carré. Ici, $\rho$ représente une distribution de charge et $g(x,y)$ est le potentiel électrique sur la frontière.

• Domaine non borné : Pour l'équation de Schrödinger non stationnaire $i\hslash {\partial }_t\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi$ dans tout l'espace ${\mathbb{R}}^3$, on impose souvent que la fonction d'onde $\psi \to 0$ à l'infini pour garantir une probabilité totale finie.

• Domaine périodique : Dans le cas de l'équation de convection-diffusion $u_t+c{u}_x=\alpha u_{xx}$ sur un domaine périodique, on impose $u(x,t)=u(x+P,t)$ où $P$ est la période. Cela peut représenter la concentration d'un polluant dans une rivière circulaire.

Équations du Premier Ordre

Dans le cours on va s'intéresser aux EDPs quasi-linéaires. $$P(x,y)\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+Q(x,y)\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=R(x,y,u)$$ L'idée est que si le problème en question est bien posé, on pourra le résoudre en utilisant les équations de compatibilité. $$P\text{d}u=R\text{d}x\iff Q\text{d}u=R\text{d}y$$ On sait aussi que le problème est bien posé si les courbes caractéristiques définies par : $$Pdy=Qdx$$ ne se croisent jamais et n'ont qu'une intersection avec la condition initiale/condition limite.

On peut construire les courbes caractéristiques en intégrant à partir de la condition initiale mais on peut également calculer $\frac{dy}{dx}$ et ainsi tracer la courbe approximativement à la main.

L'équation des courbes caractéristiques nous permet également de comprendre l'équivalence entre les deux équations de compatibilité.

Systèmes d'EDP du Premier Ordre

On peut généraliser les EDP du premier ordre à des systèmes d'EDP. Considérons le système quasi-linéaire suivant : $$M_1\frac{\partial u}{\partial x}+N_1\frac{\partial u}{\partial y}+P_1\frac{\partial v}{\partial x}+Q_1\frac{\partial v}{\partial y}=R_1,$$ $$M_2\frac{\partial u}{\partial x}+N_2\frac{\partial u}{\partial y}+P_2\frac{\partial v}{\partial x}+Q_2\frac{\partial v}{\partial y}=R_2,$$

Où les coefficients sont au maximum, fonctions de $x,y,u,v$. Pour le problème de Cauchy, les valeurs $u(s)$ et $v(s)$ sont données le long de la courbe $\Gamma$, $u_s$ et $v_s$ sont donc aussi connu.

$$\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{ds}=\frac{du}{ds}$$ $$\frac{\partial v}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{dy}{ds}=\frac{dv}{ds}$$ Ce qui donne le système : $$\left(\begin{array}{cccc}{M}_1& N_1& P_1& Q_1\\ M_2& N_2& P_2& Q_2\\ \frac{dx}{ds}& \frac{dy}{ds}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{dx}{ds}& \frac{dy}{ds}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\\ \frac{du}{ds}\\ \frac{dv}{ds}\end{array}\right)$$ Tant que le déterminant ne s'annule pas, on peut le résoudre pour obtenir $u_x,u_y,v_x,v_y$ le long de $\Gamma$ et donc construire la solution en dehors de $\Gamma$. On définit des directions caractéristiques ($dx,dy$) par le déterminant : $$\left|\begin{array}{cccc}{M}_1& N_1& P_1& Q_1\\ M_2& N_2& P_2& Q_2\\ dx& dy& 0& 0\\ 0& 0& dx& dy\end{array}\right|=0$$ Ces directions sont alors obtenues comme les racines de : $$A(dy{)}^2-Bdydx+C(dx{)}^2=0,$$ Où les coefficients $A,B,C$ sont définis comme suit : $$A=M_1{P}_2-M_2{P}_1,$$ $$B=(P_2{N}_1-P_1{N}_2)+(Q_2{M}_1-Q_1{M}_2)$$ $$C=N_1{Q}_2-N_2{Q}_1$$ Le signe de $B^2-4AC$ détermine encore une fois, le type de problème (hyperbolique, ...) et la nature des solutions (réelles, confondues, imaginaires). Dans le cas hyperbolique et comme vu précédemment avec les caractéristiques de deuxième ordre, on peut utiliser la règle de Cramer pour trouver les relations de compatibilité par exemple en remplaçant la troisième colonne : $$\left|\begin{array}{cccc}{M}_1& N_1& R_1& Q_1\\ M_2& N_2& R_2& Q_2\\ dx& dy& du& 0\\ 0& 0& dv& dy\end{array}\right|=0$$

Équation de Transport

L'équation de transport ou de convection

Forme Homogène

$$c(t,x,u)\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial u(x,y)}{\partial t}=0$$

C'est une équation homogène et linéaire si $c$ ne dépend pas de $u$. Comme $R=0$, cette équation conserve $u$ le long de chaque caractéristique ($\frac{du}{dx}=0$ et $\frac{du}{dy}=0$ dans les équations de compatibilité)

Forme Conservative

$$\boxed{(uc{)}_x+u_t=0}\iff c{u}_x+u{c}_x+u_t=0\iff c{u}_x+u_t=-u{c}_x$$

L'intégrale de $u$ est conservée. Démo : $$\frac{d}{dt}{\int }_a^{b}udx={\int }_a^b{u}_{t}dx={\int }_a^b-u{c}_x-c{u}_{x}dx=-{\int }_a^b\frac{d(cu)}{dx}dx$$ $$\iff -[cu{]}_a^b=0$$ Ce qui est facilement vérifié sur un domaine périodique et un domaine infini. Cependant

Puit de vitesse

Le cas d'un puit de vitesse pour la forme conservative est donné par :

$$c(x)=c_{\text{max}}-\frac{c_{\text{max}}-c_{\text{min}}}{(1+x^2/a^2)}=\frac{c_{\text{min}}+c_{\text{max}}{x}^2/a^2}{(1+x^2/a^2)}$$

Qui donne une relation implicite pour les caractéristiques $I(x)-I(s)=t$ qu'il faut résoudre numériquement.

Terme source

On peut aussi avoir une équation de transport écrite sous forme conservative et avec un terme source : $$\frac{\partial }{\partial x}(cu)+u_t=S\iff c{u}_x+u_t=S-c_{x}u=R$$ $$\iff c{v}_x+v_t=cS$$

Cas Non-Linéaire

Un cas non-linéaire est celui pour lequel $c$ dépend du $u$ uniquement. $$c(u)u_x+u_t=0$$ Les caractéristiques sont données par : $$dx=c(u)dt$$ Mais comme $u$ est conservé le long des caractéristiques parce que l'équation est homogène, on aura alors $dx/dt$ constant.

Sa forme conservative est, pour $g(u)={\int }^{u}c(u^{\prime })du$ :

$$(g(u){)}_x+u_t=0$$

Dans ce type de problème, il y a une

• zone d'expansion avec $c$ fonction croissante de $x$; elles sont donc telles que la pente de la caractéristique en $x+dx$ est plus grande que celle en $x$ : les caractéristiques ne se croisent pas et la solution est régulière.
• zone de compression avec $c$ fonction décroissante de $x$; elles sont donc telles que la pente de la caractéristique en $x+dx$ est plus petite que celle en $x$: les caractéristiques se croisent. Après un certain temps fini, la solution deviendra discontinue: l’onde de compression est alors appelée onde de discontinuité (ou onde de choc).

Équation de Burgers

L'équation de burgers est l'équation de transport non-linéaire conservative la plus classique où $c(t,x,u)=u$.

$$u\cdot u_x+u_y=0\iff (u^2/2{)}_x+u_y=0$$

On va considérer soit des domaines périodiques ou infinis. Elle est donc homogène, $u$ est conservée le long des caractéristiques et les caractéristiques sont de la forme $x=s+f(s)t$. On a donc des pentes qui dépendent de $s$ et donc du point de départ sur la courbe $\Gamma$ ce qui peut poser problème car des caractéristiques peuvent se croiser. L'intégrale de $u$ sur l'espace est également conservée ainsi que l'énergie (c-à-d l'intégrale de $u^2/2$). La solution implicite peut s'écrire sous la forme : $$u(x,t)=f(x-u(x,t)t)$$

On peut également démontrer que tant qu'il n'y a pas de discontinuité, l'énergie est conservée et le problème est réversible et si il y en a l'énergie diminue et el problème est irréversible.

Les conditions limites

Pour trouver une solution à une equation de transport, il faut qu'une caractéristique émanant d'une condition limite soit incidente au point en question. On ne pet pas imposer de condition limite où les caractéristiques sont déjà définies par d'autres caractéristiques. Tout dépend donc de la pente des caractéristiques en chaque point et donc d'où nous vient l'information. Comme autre exemple d'EDP à caractère mixte, citons l'équation des télégraphistes. C'est l'EDP qui régit la chute de potentiel, $v(x,t)$, pour la transmission d'un signal électrique le long d’un câble: $$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-LC\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}=(RC+LG)\frac{\partial v}{\partial t}+RGv$$ avec $R$ la résistance série par unité de longueur, $L$ l’inductance par unité de longueur, $G$ la conductance parallèle par unité de longueur et $C$ la capacité par unité de longueur. Selon le critère mathématique ($B^2-4AC>0$), cette EDP est hyperbolique (= onde). Sa composante de diffusion lui confère aussi un caractère parabolique.

Équations du Second Ordre

Forme générale quasi-linéaire à 2 variables :

$$A{\varphi }_{xx}+B{\varphi }_{xy}+C{\varphi }_{yy}=R$$ Avec $A,B,C,R$ au plus, fonctions de $x,y,{\varphi }_x,{\varphi }_y$

Notons bien que comme il s'agit de résoudre une équation d'ordre 2, comme pour l'intégration standard, il nous faudra 2 conditions initiales/limites pour trouver une solution unique, si elle existe.

Types d'EDPs de Second Ordre

$$\begin{array}{rl}{B}^2-4AC>0& \Rightarrow \text{Hyperbolique}\\ B^2-4AC=0& \Rightarrow \text{Parabolique}\\ B^2-4AC<0& \Rightarrow \text{Elliptique}\end{array}$$

Problème de Cauchy bien posé

Le problème de Cauchy définit par l'EDP, une courbe paramétrisée $\Gamma \equiv (x(s),y(s))$ et $\varphi (s)$ et $(\varphi (s){)}_n$ avec $n(s)$ la direction normale à la courbe n'est que bien posé si le déterminant du système suivant : $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ \frac{dx}{ds}& \frac{dy}{ds}& 0\\ 0& \frac{dx}{ds}& \frac{dy}{ds}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\\ \frac{\partial {\varphi }^2}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}R\\ \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\\ \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)\end{array}\right)\end{array}$$ ne s'annule en aucun point de la courbe $\Gamma$.

2. On obtient, pour un système bien posé et après maintes manipulations : $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ dx& dy& 0\\ 0& dx& dy\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\\ \frac{\partial {\varphi }^2}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}R\\ d\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\\ d\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)\end{array}\right)\end{array}$$ En définissant $u={\varphi }_x$ et $v={\varphi }_y$

!!! Si $u$ et $v$ sont définit autrement, il faudra bien évidemment modifier le système suivant!!!

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ dx& dy& 0\\ 0& dx& dy\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y=v_x\\ v_y\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}R\\ du\\ dv\end{array}\right)\end{array}$$ Les deux directions caractéristiques $(dx,dy)$ sont telles que : $$\begin{array}{c}\left|\begin{array}{ccc}A& B& C\\ dx& dy& 0\\ 0& dx& dy\end{array}\right|\end{array}=0\iff A(dy{)}^2-Bdxdy+C(dx{)}^2=0$$

On obtiendra donc 2 directions caractéristiques si l'EDP est hyperbolique

Bien que le déterminant du système s’annule le long des caractéristiques, le système est encore soluble le long de ces caractéristiques à condition que le déterminant formé en remplaçant une des colonnes de la matrice par le membre de droite s’annule également, on peut aussi montrer que remplacer une colonne ou une autre donne une équation équivalente, ceci découle simplement de la définition des caractéristiques. Attention ! : Il y a une équation pour chaque caractéristique et donc on peut remplacer $dx/dy$ par $2$ expressions.

$$\left|\begin{array}{ccc}R& B& C\\ d{\varphi }_x& dy& 0\\ d{\varphi }_y& dx& dy\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}A& R& C\\ dx& d{\varphi }_x& 0\\ 0& d{\varphi }_y& dy\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}A& B& R\\ dx& dy& d{\varphi }_x\\ 0& dx& d{\varphi }_y\end{array}\right|=0$$

Mise Sous Forme Canonique

Toute EDP d'ordre $2$ peut être réécrite sous forme canonique moyennant un changement de variable. Pour simplifier on ne regardera que le cas d'EDPs linéaires à coefficients constants. On a donc : $$A{\varphi }_{xx}+B{\varphi }_{xy}+C{\varphi }_{yy}=F-(P{\varphi }_x+Q{\varphi }_y+G\varphi )=R$$ On procède en "factorisant" l'équation.

Cas Hyperbolique

TODO : Développement qui transforme en forme canonique

A$\ne 0$ :

$b=B/A$,$c=C/A$ et $r=R/A$

Forme Canonique : ${\varphi }_{XX}-{\varphi }_{YY}=r$

Changement de Variables : $X=x\text{et}Y=\left(-\frac{b}{2}x+y\right)/\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$

A$=0$ :

$c=C/B$ et $r=R/B$

Forme Canonique : ${\varphi }_{XY}=r$

Changement de Variables : $X=x\text{et}Y=(-cx+y)$

Forme Alternative : ${\varphi }_{\xi \xi }-{\varphi }_{\eta \eta }=r$

Changement de Variables : $X=\xi -\eta \text{et}Y=\xi +\eta$

Cas Elliptique

Pas de cas $A=0$

$b=B/A$,$c=C/A$ et $r=R/A$

A$\ne 0$ :

Forme Canonique : ${\varphi }_{XX}+{\varphi }_{YY}=r$

Changement de Variables : $X=x\text{et}Y=\left(-\frac{b}{2}x+y\right)/\sqrt{c-b^2/4}$

Cas Parabolique

A$\ne 0$ :

$b=B/A$,$c=C/A$ et $r=R/A$

Forme Canonique : ${\varphi }_{XX}=r$

Changement de Variables : $X=x\text{et}Y=-\frac{b}{2}x+y$

Equivalence Système Premier Ordre et Second Ordre

Il y a, en fait, équivalence entre une EDP du 2ème ordre et un système de deux EDP du 1er ordre :

$$A\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+B\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}+C\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=R$$

s'écrit aussi, en définissant $u=\frac{\partial \varphi }{\partial x}$ et $v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}$, sous la forme:

$$\{\begin{array}{rl}& A\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{B}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)+C\frac{\partial v}{\partial y}=R\\ & \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}$$ où la seconde équation provient de la compatibilité entre $u$ et $v$ :

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Le système équivalent du 1er ordre est donc obtenu. On obtient aussi:

$$\left(\begin{array}{cccc}A& \frac{B}{2}& \frac{B}{2}& C\\ 0& 1& -1& 0\\ \frac{dx}{ds}& 0& 0& \frac{dy}{ds}\\ 0& \frac{dx}{ds}& \frac{dy}{ds}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R\\ 0\\ \frac{du}{ds}\\ \frac{dv}{ds}\end{array}\right).$$

L'annulation du déterminant, afin de déterminer les directions caractéristiques, conduit à $$A(dy{)}^2-Bdydx+C(dx{)}^2=0,$$ (Voir : équation d'onde)

EDP à Caractère Mixte

Certains problèmes physiques sont de type mixte. Par exemple, l'EDP de transport avec diffusion, $$c{u}_x+u_t=\alpha u_{xx}$$ qui, mathématiquement est parabolique, il n'y a pas de méthode des caractéristiques. Cependant, et du point de vue de la physique qu’elle représente : sa composante de diffusion lui confère un caractère parabolique et sa composante de transport lui confère un caractère hyperbolique.

Il y a aussi l'équation de Burgers avec diffusion : $$u\cdot u_x+u_t=\alpha u_{xx}$$ Dont la diffusivité $\alpha >0$ garantit la continuité de la fonction $u$. En domaine non borné ou périodique, les deux EDP ci-dessus conservent l'intégrale de $u$ et l'énergie diminue

Équations Hyperboliques

Équation d'Onde

Forme Générale

$$\boxed{c^2{\varphi }_{xx}={\varphi }_{tt}}$$ On a $A=c^2,B=0,C=-1$, ce qui donne $B^2-4AC=4c^2>0$ car $c$ est réel. L'équation d'onde est une équation hyperbolique, homogène, linéaire (parce qu'en général $c$ ne va pas dépendre de $\varphi$ ou de ses dérivées)

Caractéristiques

Les directions caractéristiques $(dx,dt)$ sont les solutions de $(dx{)}^2=c^2(dt{)}^2$. Les racines sont effectivement réelles et distinctes: $\frac{dx}{dt}=c$ et $\frac{dx}{dt}=-c$. Comme c est ici constant, les caractéristiques forment un réseau régulier de droites.

Il faut encore une fois faire attention à d'où vient l'information pour s'assurer que le problème est bien posé.

Problème aux Conditions Initiales

On regarde le problème aux conditions initiales et en domaine non borné ou périodique. Les caractéristiques émanant d'un point s de $\Gamma$ ont comme équation $x-ct=s$ et $x+ct=s$. Le problème est bien posé puisque $\Gamma$ est non parallèle au réseau des caractéristiques. On doit y spécifier $\varphi (s,0)=f(s)$ et $\frac{\partial \varphi }{\partial t}(s,0)=g(s)$ On peut appliquer la méthode des caractéristiques à ce problème mais c'est vachement nul comme méthode honnêtement. Il est plus malin de factoriser l'équation ce qui nous permet de trouver la formule d'Alembert, avec les conditions initiales : $\varphi (x,t=0)=f(x)$ et ${\varphi }_t(x,t=0)=g(x)$ :$$\varphi (x,t)=f_1(x+ct)+f_2(x-ct)=\frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}g(s^{\prime })d{s}^{\prime }$$

Avec $c(x)$

L'équation d'onde avec $c=c(x)$ est $$\frac{\partial }{\partial x}\left(c\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$ On définira ici que $u=\frac{\partial }{\partial x}(c\varphi )$ et $v=\frac{\partial \varphi }{\partial t}$. On peut alors utiliser la méthode des caractéristiques pour la résoudre. On note aussi que l'EDP peut se factoriser: $$\frac{\partial }{\partial x}(c\varphi )+\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\psi \text{puis}\frac{\partial }{\partial x}(c\psi )-\frac{\partial \psi }{\partial t}=0$$

Sous Forme de Système

$$c^2{\varphi }_{xx}={\varphi }_{tt}$$ Soient $u=c{\varphi }_x$ et $v={\varphi }_t$, qui donnent : $$\{\begin{array}{rl}c{u}_x-v_t& =0\\ c{v}_x-u_t& =0\end{array}\iff \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)+\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ -c& 0\end{array}\right)}}\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ Les valeurs propres de $A$ sont obtenues par annulation de déterminant de $A-\lambda I$ qui donne les directions caractéristiques, ici $c$ et $-c$. En annulant le déterminant de la grosse matrice on trouve finalement que $u-v$ est conservé le long de $\frac{dx}{dt}=c$ et $u+v$ est conservé le long de $\frac{dx}{dt}=-c$.

Sous Forme de Système avec $c(x)$

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(c\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$ Soient $u=c{\varphi }_x$ et $v={\varphi }_t$, qui donnent : $$\frac{\partial }{\partial x}(cu)-v_t=0$$ Et le système : $$\{\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}(cu)-v_t& =0\\ \frac{\partial }{\partial x}(cv)-u_t& =0\end{array}$$ Si $p=cu$ et $q=cv$ $$\{\begin{array}{rl}c{p}_x-q_t& =0\\ c{q}_x-p_t& =0\end{array}\iff \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ -c& 0\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

Étude Par Séparation de Variables

La forme à plusieurs variables s'écrit : $$u_{tt}=c^2{\nabla }^{2}u$$ On a $t>0$ et on considère de façon générale $\vec{x}\in \Omega \subset R^d$.

L'équation d'onde est un modèle pour la vibration des cordes $(d=1)$, les membranes $(d=2)$ et les solides $(d=3)$.

Membrane Rectangulaire

Nous étudierons ici le cas $d=2$ : $$u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy})$$ Cette équation décrit le déplacement vertical d'une membrane soumise aux conditions initiales suivantes : $$u(x,y,0)=u_0(x,y)x,y\in \Omega \subset R^2$$ $$\dot{u}(x,y,0)={\dot{u}}_0(x,y)$$ Qui décrivent la position et la vitesse initiale de la membrane rectangulaire de dimensions $L\times H$.

On fixe aussi la membrane à son bord $\Gamma$ par la condition limite : $$u(x,y,t)=0\forall x,y\in \Gamma$$ Commençons par séparer les variables qu'on va tout de suite injecter dans l'EDP : $$u(x,y,t)=T(t)\varphi (x,y)\Rightarrow \frac{T^{\prime \prime }}{c^{2}T}=\frac{{\nabla }^2\varphi }{\varphi }=\pm k^2$$ On verra aussi que $+k^2$ donne des solutions nulles donc on fixe déjà $-k^2$. L'EDO en $T$ nous donne : $$T(t)=A\cos (kct)+B\sin (kct)$$ En $\varphi$ on a : $${\nabla }^2\varphi +k^2\varphi =0$$ Celui-ci avec la condition limite homogène est un problème de Helmholtz. On peut prouver que ${\nabla }^2$ est un opérateur auto-adjoint et que donc les fonctions propres sont orthogonales et qu'il en existe un nombre infini.

Pour résoudre ce problème de Helmholtz, on va encore séparer les variables qu'on va injecter dans le problème de Helmholtz : $$\varphi (x,y)=X(x)Y(y)\Rightarrow \frac{X^{\prime \prime }}{X}=-k^2-\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-l^2$$ Avec $l$ encore une constante. Encore une fois, le signe négatif est choisi pour éviter les solutions non-triviales, on trouve alors avec les bords fixes donc des conditions de Dirichlet homogène que : $$l=\frac{n\pi }{L}|n\in N_0\text{et}X(x)=D\sin (lx)$$ En $Y$ on a : $$Y(y)=E\cos (\sqrt{k^2-l^2}y)+F\sin (\sqrt{k^2-l^2}y)$$ Et avec les conditions initiales : $$\sqrt{k^2-l^2}=\frac{m\pi }{H}|m\in N_0\text{et}Y(y)=\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)$$ Qu'on peut combiner avec l'expression de $l$ pour trouver : $$\boxed{k_{mn}^2={\left(\frac{m\pi }{H}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2}$$ Les fonctions propres du Laplacien dans un rectangle sont : $${\varphi }_{nm}(x,y)=X_n(x)Y_m(y)=\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)$$ Dont l'orthogonalité s'écrit : $${\int }_0^L{\int }_0^H{\varphi }_{mn}(x,y){\varphi }_{ij}(x,y)dxdy=\frac{HL}{4}{\delta }_{im}{\delta }_{jn}$$ Les fréquences propres ${\omega }_{mn}$ de la membrane sont : $$\boxed{{\omega }_{mn}=c\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{H}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2}}$$ On a donc la solution provisoire de l'EDP + condition limite : $$\begin{array}{rl}u(x,y,t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }[& A_{mn}\cos ({\omega }_{mn}t)+B_{mn}\sin ({\omega }_{mn}t)]\\ \cdot & \sin (\frac{n\pi }{L}x)\sin (\frac{m\pi }{H}y)\end{array}$$ On applique donc la condition initiale sur la position : $$u(x,y,0)=u_0(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{mn}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)$$ Et en appliquant l'orthogonalité on peut trouver : $$A_{mn}=\frac{4}{LH}{\int }_0^L{\int }_0^H{u}_0(x,y)\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)dxdy$$ Et $B_n$ se trouve en appliquant l'orthogonalité à : $${\dot{u}}_0(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{B}_{mn}{\omega }_{mn}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)$$ Dans le cas d'une vitesse initiale nulle on aura $B_{mn}=0$ mais sinon : $$B_{mn}=\frac{4}{LH}\frac{1}{{\omega }_{mn}}{\int }_0^L{\int }_0^H{\dot{u}}_0(x,y)\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{H}y\right)dxdy$$ Ces coefficients sont absolument infernaux à calculer donc en pratique on le fait numériquement.

Membrane Circulaire

Pour résoudre le problème dans un domaine circulaire de rayon $a$, on va utiliser l'équation d'onde sous forme polaire : $$u_{tt}=c^2{\nabla }^{2}u=c^2\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{u}_r\right)+\frac{1}{r^2}{u}_{rr}\right)$$ Cette équation décrit le déplacement vertical d'une membrane soumise aux conditions initiales suivantes : $$u(r,\theta ,0)=u_0(r,\theta )$$ $$\dot{u}(r,\theta ,0)={\dot{u}}_0(r,\theta )$$ On fixe aussi la membrane à son bord $\Gamma$ par la condition limite : $$u(a,\theta ,t)=0$$ On sépare l'espace et le temps et on le met dans l'équation de départ : $$u(r,\theta ,t)=T(t)\varphi (r,\theta )\Rightarrow T^{\prime \prime }(t)\varphi (r,\theta )=c^{2}T(t){\nabla }^2\varphi (r,\theta )$$ $$\Rightarrow \frac{T^{\prime \prime }}{c^{2}T}=\frac{{\nabla }^2\varphi }{\varphi }=-k^2$$ Pour $T$ on trouve de nouveau : $$T(t)=A\cos (kct)+B\sin (kct)$$ Pour $\varphi$ on sépare les variables : $$\varphi (x,y)=R(r)\Theta (\theta )$$ Qu'on injecte dans le problème de Helmholtz avec la Laplacien exprimé en coordonnées polaires : $${\nabla }^2\varphi +k^2=\Theta \frac{1}{r}(r{R}^{\prime }{)}^{\prime }+\frac{1}{r^2}R{\Theta }^{\prime \prime }+k^{2}R\Theta =0$$ Après division et avec une nouvelle constante $m$ on trouve : $$\frac{1}{R}r(r{R}^{\prime }{)}^{\prime }+k^2{r}^2=-\frac{1}{\Theta }{\Theta }^{\prime \prime }=m^2$$ En $\theta$ on trouve : $$\Theta (\theta )=A\cos (m\theta )+B\sin (m\theta )|m\in N$$ En $r$ : $$r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }+(k^2{r}^2-m^2)R=0$$ Qui n'est pas une équation d'Euler (donc on ne peut pas trouver les solution en substituant $R=r^{\alpha }$) mais si on pose : $$\boxed{z=kr}$$ On obtient une équation différentielle de Bessel d'ordre $m$ : $$\boxed{z^2{R}^{\prime \prime }+z{R}^{\prime }+(z^2-m^2)R=0}$$ Dont la solution s'exprime par une combinaison des deux espèces de fonctions de Bessel (voir page sur les fonctions de Bessel) : $$R(z)=A{J}_m(z)+B{Y}_m(z)$$ Comme on a aussi : $$R(a)=0$$ Et que les fonctions de Bessel de seconde espèce présentent une singularité en $0$, on en déduit que $B=0$ (si $0$ ne faisait pas partie du domaine on aurait pas pu rejeter les $Y$), la condition limite donne alors : $$J_m(ka)=0$$ Les $k_{mn}$ sont donc donnés par les zéros de la $m^e$ fonction de Bessel : $$\boxed{k_{mn}=\frac{z_{mn}}{a}}$$ Les fonctions/modes propres du problème de Helmholtz circulaire avec la condition de Dirichlet Homogène sont donc : $${\varphi }_{mn}(r,\theta )=J_{mn}\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)(A\cos (m\theta )+B\sin (m\theta ))$$ Dont l'orthogonalité s'écrit : $${\int }_{\Omega }{\varphi }_{mn}(r,\theta ){\varphi }_{ij}(r,\theta )ds=0$$ Si on remplace les expressions de chaque terme dans l'expression de l'orthogonalité, on trouve : $${\int }_0^{2\pi }\sin (m\theta )\sin (i\theta )d\theta {\int }_0^a{J}_m\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)J_i\left(\frac{z_{ij}}{a}r\right)rdr=0$$ Les deux termes de cette égalité sont tous deux simultanément nuls. On a donc : $${\int }_0^a{J}_m\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)J_i\left(\frac{z_{ij}}{a}r\right)rdr=0$$ Pour simplifier les notations, choisissons une vitesse initiale nulle. Dans ce cas, $T_{mn}(t)=A\cos (c{k}_{mn}t)$ et la solution du problème avec C.L. nulles est : $$\begin{array}{rl}u(r,\theta ,t)=& \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{mn}{J}_m\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)\cos (m\theta )\cos \left(\frac{z_{mn}}{a}ct\right)+\\ & \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{B}_{mn}{J}_m\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)\sin (m\theta )\cos \left(\frac{z_{mn}}{a}ct\right)\end{array}$$ On utilise l'orthogonalité pour calculer les coefficients : $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^a{u}_0(r,\theta )J_m\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)\cos (m\theta )rdrd\theta =A_{mn}\pi {\int }_0^a{J}_m^2\left(\frac{z_{mn}}{a}r\right)rdr$$ Considérons le cas (simple) où $u_0$ est indépendant de $\theta$. Dans ce cas, seul les termes relatifs à $m=0$ sont non nuls et la solution est indépendante de $\theta$. Le cas d’une vitesse initiale nulle et $u_0(r)$ indépendant de $\theta$ donne donc : $$u(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{J}_0\left(\frac{z_{0n}}{a}r\right)\cos \left(\frac{z_{0n}}{a}ct\right)$$ Et : $$A_n=\frac{\left({\int }_0^a{u}_0(r)J_0\left(\frac{z_{0n}}{a}r\right)rdr\right)}{{\int }_0^a{J}_0^2\left(\frac{z_{0n}}{a}r\right)dr}$$

Points Importants (à compléter)

Domaine Rectangulaire :

Le nombre d'onde d'un des modes d'une membrane rectangulaire est donnée par :

$$k_{mn}=c\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{H}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2}$$

Domaine Circulaire :

Le nombre d'onde d'un des modes d'une membrane circulaire est donnée par :

$$k_{mn}=\frac{z_{mn}}{a}$$

Où $z_{mn}$ est la $n^e$ racine de la $m^e$ fonction de Bessel de première espèce.

Équations Paraboliques

Équation de Diffusion

Forme Générale 1D

$$\frac{\partial }{\partial x}(\alpha {\varphi }_x)={\varphi }_t$$ Qu'on vois parfois avec un terme source : $$\frac{\partial }{\partial x}(\alpha {\varphi }_x)={\varphi }_t+F(x,t)$$ Avec $\alpha >0$ la diffusivité (éventuellement fonction de $x$ et de $\varphi$; voir même de $t$). Si $\alpha$ constant : $$\boxed{\alpha {\varphi }_{xx}={\varphi }_t}$$ $A=\alpha ,B=C=0\Rightarrow B^2-4AC\iff$ parabolique. De la formule des caractéristiques on trouve qu'il n'y a pas de caractéristiques.

Un problème de diffusion se résout toujours à partir d'une condition initiale $\varphi (s,0)=f(s)$. Si le domaine est borné, on doit aussi imposer une condition sur chaque frontière.

Intégrale Conservée

$$\frac{d}{dt}{\int }_a^b\varphi dx={\int }_a^b{\varphi }_{t}dx={\int }_a^b\alpha {\varphi }_{xx}dx=[\alpha {\varphi }_x{]}_a^b=0$$

Énergie

On peut montrer que l'intégrale de ${\varphi }^2/2$ diminue avec le temps et donc l'énergie.

Solutions

Domaine Non Borné

Condition Initiale : Gaussienne

Problème non borné et de condition initiale : $\varphi (s,0)={\varphi }_0\text{exp}\left(-\frac{s^2}{b^2}\right)$, la solution: $$\varphi (x,t)={\varphi }_0\frac{b}{\sqrt{b^2+4\alpha t}}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{b^2+4\alpha t}\right)$$ D'intégrale : $$Q={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x,t)dx={\varphi }_{0}b{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\text{exp}(-\frac{x^2}{b^2+4at})}{\sqrt{b^2+4at}}dx={\varphi }_{0}b{\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{exp}(-p^2)dp={\varphi }_{0}b\sqrt{\pi }$$ ne varie pas dans le temps. On peut donc aussi écrire: $$\varphi (x,t)=\frac{Q}{\sqrt{\pi (b^2+4at)}}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{b^2+4at}\right)$$

Condition Initiale : Singularité

Si on considère plutôt la diffusion d'une "singularité d'intégrale totale $Q$" et placée à l'origine $x=0$ en $t=0$, la solution sera: $$\varphi (x,t)=\frac{Q}{\sqrt{\pi 4at}}{e}^{-\frac{x^2}{4at}}$$ La condition initiale Gaussienne correspond à une singularité d'intégrale $Q$ qui aurait diffusé pendant un temps$\tau =b^2/4\alpha$. Le temps mesuré à partir de la condition initiale Gaussienne est $t$; celui mesuré à partir de la condition initiale singulière est $\tau +t$.

Condition Initiale : cas général par convolution

On trouve la solution pour une distribution initiale quelconque $\varphi (0,s)=f(s)$ en additionnant la contribution de chaque petit morceaux de $f(s)$ à la solution. Dans le cas à une dimension spatiale, un morceaux infinitésimal correspond à une aire $f(s)ds=dQ(s)$ dont la contribution à la solution est : $$\frac{dQ(s)}{\sqrt{\pi 4at}}{e}^{-\frac{(x-s{)}^2}{4at}}=\frac{f(s)ds}{\sqrt{\pi 4at}}{e}^{-\frac{(x-s{)}^2}{4at}}$$ Qu'on intègre alors pour obtenir : $$\varphi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi 4at}}\int e^{-\frac{(x-s{)}^2}{4at}}f(s)ds$$ On dit que la fonction : $$G(r,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha t}}{e}^{-\frac{r^2}{4at}}$$ est la solution élémentaire (i.e. la "fonction de Green") de l'équation de diffusion en domaine non borné 1-D, la solution est alors la convolution entre la condition initiale et la fonction de Green : $$\varphi (x,t)=\int G(|x-s|,t)f(s)ds\iff \varphi =G\ast f$$

En 2D/3D

L'équation de diffusion en plusieurs dimensions spatiales est donnée par : $$\alpha {\nabla }^2\varphi ={\varphi }_t$$

Fonctions de Green

En 2D : $$G(r,t)=\frac{\exp \left(-\frac{r^2}{4\alpha t}\right)}{4\pi \alpha t}$$ En 3D : $$G(r,t)=\frac{\exp \left(-\frac{r^2}{4\alpha t}\right)}{(4\pi \alpha t{)}^{3/2}}$$

Condition Initiale : Domaine Borné Périodique

On résout le problème par séparation de variables. On prend par exemple comme condition initiale $\varphi (s,0)={\varphi }_0\sin (\pi s/L)$, une fonction de période $2L$. La fonction sera de la forme $\varphi (x,t)=g(t)h(x)$, qui dans l'EDP donne : $$\alpha \cdot g(t)h^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(t)h(x)\iff \alpha \frac{h^{\prime \prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}$$ $2$ fonctions égales pour tout $x$ et $t$ $\Rightarrow$ fonctions constantes $$\alpha \frac{h^{\prime \prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}=\lambda$$ Ce qui nous donne un problème de Sturm-Liouville de valeur propre $\frac{\lambda }{\alpha }$, (l'important est que ce sont des constantes, pas le nom qu'on leur donne) et d'opérateurs différentiels dérivée première et seconde. $$h^{\prime \prime }(x)-\frac{\lambda }{\alpha }h(x)=0$$ On sait par experience que seul les valeurs pour $\lambda >0$ donneront des solutions triviales, on va donc noter $\frac{\lambda }{\alpha }=-k^2$. Comme les bornes dont de la forme : $X(-L)=X(L)$ et $X^{\prime }(-L)=X^{\prime }(L)$, on sait donc que $h(x)$ sera de la forme : $$h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (k_{n}x)+\sum _{n=0}^{\infty }{B}_n\cos (k_{n}x)$$ Avec $k_n=n\pi /L$. On projette maintenant la condition initiale sur la base formée par les solutions du problème de Sturm-Liouville pour trouver les coefficients $A_n$. Ceci ce fait avec le produit scalaire $⟨f(x),y_m⟩={\int }_a^{b}f(x)y_m(x)w(x)dx$. $$A_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L{\varphi }_0\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)h(x)dx$$ Ce qui, par l'orthogonalité entre sinus et cosinus, nous donne : $$A_n=\{\begin{array}{rl}& {\varphi }_0\text{si n=1}\\ & 0\text{sinon}\end{array}{B}_n=0\Rightarrow h(x)={\varphi }_0\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)$$ Maintenant qu'on l'expression de $\lambda$ qui est $\lambda =-\alpha {\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2$, on peut trouver $g(t):$ $$g^{\prime }(t)=\lambda g(t)\Rightarrow g(t)=\exp \left(-\alpha {\left(\frac{\pi }{L}\right)}^{2}t\right)$$ La solution est alors : $$\varphi (x,t)={\varphi }_0\exp \left(-\alpha {\left(\frac{\pi }{L}\right)}^{2}t\right)\sin \frac{\pi x}{L}$$ Et on peut montrer que l'intervalle sur une période (ex : $[-L,L]$ ou $[0,2L]$) est conservée, la solution pour une demi période sera la même mais l'intégrale ne sera pas conservée.