Coordonnées Curvilignes et Opérateurs Différentiels

Soit une fonction $f(x_1,x_2,x_3)$ continûment dérivable et la fonction composée $f(x_1(\overrightarrow{q}),x_2(\overrightarrow{q}),x_3(\overrightarrow{q}))$.

Soit une fonction $f(u(x,y,x),v(x,y,z),w(x,y,x))$ dont on cherche le gradient, la divergence et le Laplacien, on pense par exemple à $f(\theta (x,y,z),\varphi (x,y,z),z(x,y,z))$ pour des coordonnées cylindriques, on connait déjà l'expression des différents opérateurs différentiels en coordonnées cartésiennes mais il est souvent plus commode de travailler en coordonnées curvilignes et donc on aimerait avoir leur expressions sous cette forme.

Notation : Pour un vecteur infinitésimal $dr=(dx,dy,dz)$, on définit les facteurs d'échelle : $$h_u\equiv \left|\frac{\partial r}{\partial u}\right|h_v\equiv \left|\frac{\partial r}{\partial v}\right|h_w\equiv \left|\frac{\partial r}{\partial w}\right|$$ Et $\hat{u},\hat{v},\hat{w}$ des vecteurs unités le long de $\partial r/\partial u$, $\partial r/\partial v$, $\partial r/\partial w$. Et comme : $$dr=\frac{\partial r}{\partial u}du+\frac{\partial r}{\partial v}dv+\frac{\partial r}{\partial w}dw$$ On trouve : $$dr=h_{u}du\hat{u}+h_{v}dv\hat{v}+h_{w}dw\hat{w}$$

Exemple : Coordonnées Polaires

$$\{\begin{array}{r}x=r\cos (\theta )\\ y=r\sin (\theta )\end{array}$$ On étudie donc une fonction $f(r,\theta )$. Pour trouver $dr\equiv (dx,dy)$ on calcule d'abord $h_r$ et $h(\theta )$ : $$h_r=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,r)}\right|=\sqrt{{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )}=1$$ $$h_{\theta }=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (\theta ,\theta )}\right|=\sqrt{[-r\sin (\theta ){]}^2+[r\cos (\theta ){]}^2}=r$$ $dr$ est donc donné par : $$dr=dr\hat{r}+rd\theta \hat{\theta }$$ On peut on déduire l'expression de plusieurs quantités intéressantes :

L'élément de ligne 2D : $dl\equiv \sqrt{dr\cdot dr}=\sqrt{(dr{)}^2+r^2(d\theta {)}^2}$

L'élément de surface : $dS=h_r{h}_{\theta }drd\theta =rdrd\theta$

Et en 3D :

L'élément de ligne 3D : $dl\equiv \sqrt{dr\cdot dr}=\sqrt{(h_{u}du{)}^2+(h_{v}dv{)}^2+(h_{w}dw{)}^2}$

L'élément de volume : $dV=\left[(\hat{u}\cdot d\mathbf{r})\hat{u}\right]\cdot \left\{\left[(\hat{v}\cdot d\mathbf{r})\hat{v}\right]\times \left[(\hat{w}\cdot d\mathbf{r})\hat{w}\right]\right\}=h_u{h}_v{h}_{w}dudvdw$

Gradient

$$\nabla f(u,v,w)=\frac{f_u\hat{u}}{h_u}+\frac{f_v\hat{v}}{h_v}+\frac{f_w\hat{w}}{h_w}$$ J'utilise la notation $\frac{\partial f}{\partial u}=f_u$ quand il n'y a pas trop de risque de confusion.

Divergence

$$\nabla \cdot \overrightarrow{A}(u,v,w)=\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}\left[\frac{\partial (A_u{h}_v{h}_w)}{\partial u}+\frac{\partial (A_v{h}_u{h}_w)}{\partial v}+\frac{\partial (A_w{h}_u{h}_v)}{\partial w}\right]$$

Laplacien

$${\nabla }^{2}f(u,v,w)=\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{h_v{h}_w}{h_u}{\varphi }_u\right)+\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{h_u{h}_w}{h_v}{\varphi }_v\right)+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{h_u{h}_v}{h_w}{\varphi }_w\right)\right]$$

Polaire 2D

$$\{\begin{array}{r}x=r\cos (\theta )\\ y=r\sin (\theta )\end{array}$$ Gradient d'une fonction scalaire $\varphi$ : $$\nabla \varphi ={\varphi }_r\hat{r}+\frac{1}{r}{\varphi }_{\theta }\hat{\theta }$$ Divergence d'un champ vectoriel $\mathbf{v}=v_1\hat{r}+v_2\hat{\theta }$ $$\nabla \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_1)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }$$ Laplacien d'une fonction scalaire $\varphi$ : $${\nabla }^2\varphi =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{\varphi }_r)+\frac{1}{r^2}{\varphi }_{\theta \theta }$$

Coordonnées Sphériques

$$\{\begin{array}{rl}x& =r\sin (\theta )\cos (\varphi )\\ y& =r\cos (\theta )\sin (\varphi )\\ z& =r\cos (\theta )\end{array}$$ On trouve : $$\begin{array}{rl}{h}_r& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2}=\sqrt{{\sin }^2(\theta ){\cos }^2(\varphi )+{\sin }^2(\theta ){\cos }^2(\varphi )+{\cos }^2(\theta )}=1\\ h_{\theta }& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)}^2}=\sqrt{r^2{\cos }^2(\theta ){\cos }^2(\varphi )+r^2{\cos }^2(\theta ){\cos }^2(\varphi )+r^2{\sin }^2(\theta )}=r\\ h_{\varphi }& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial \varphi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \varphi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \varphi }\right)}^2}=\sqrt{r^2{\sin }^2(\theta ){\sin }^2(\varphi )+r^2{\sin }^2(\theta ){\cos }^2(\varphi )}=r\sin (\theta )\end{array}$$

Et on trouve :

Le gradient : $$\nabla f=f_r\cdot \hat{r}+\frac{1}{r}{f}_{\theta }\cdot \hat{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }{f}_{\varphi }\hat{\varphi }$$ La divergence : $$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{A}_1)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta A_2)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_3}{\partial \varphi }$$ Le Laplacien : $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{f}_r\right)+\frac{1}{r^2\sin (\theta )}\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta )f_{\theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2(\theta )}{f}_{\varphi \varphi }$$

Coordonnées Cylindriques

$$\{\begin{array}{rl}x& =r\cos (\theta )\\ y& =r\sin (\theta )\\ z& =z\end{array}$$ On trouve : $$\begin{array}{rl}{h}_r& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2}=\sqrt{{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )}=1\\ h_{\theta }& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)}^2}=\sqrt{r^2{\cos }^2(\theta )+r^2{\sin }^2(\theta )}=r\\ h_z& =\sqrt{{\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial z}\right)}^2}=\sqrt{1}=1\end{array}$$

Et on trouve :

Le gradient : $$\nabla f=f_r\cdot \hat{r}+\frac{1}{r}{f}_{\theta }\cdot \hat{\theta }+f_z\cdot \hat{z}$$ La divergence : $$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_1)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_2}{\partial \theta }+\frac{\partial A_3}{\partial z}$$ Le Laplacien : $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{f}_r\right)+\frac{1}{r^2}{f}_{\theta \theta }+f_{zz}$$ Autres :

1. L'élement de ligne : $$dl=dr\hat{r}+rd\theta \hat{\theta }+dz\hat{z}$$
2. L'élement de Volume : $$dV=rdrd\theta dz$$
3. L'élément de surface sur une surface de cylindre de rayon constant $\theta$ : $$d{S}_r=rd\theta dz$$
4. L'élément de surface sur une plan d'azimuth constant : $$d{S}_{\theta }=drdz$$
5. L'élément de surface sur une plan d'hauteur constante : $$d{S}_z=rdrd\theta$$

Sources

https://www.jfoadi.me.uk/documents/lecture_mathphys2_05.pdf

Syllabus LEPL1103

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system