Sturm-Liouville

Un problème de Sturm-Louville est un problème de la forme : $$\frac{d}{dx}\left(p(x)y_x\right)+q(x)y=-\lambda w(x)y\iff \boxed{p(x)y_{xx}+p(x{)}_x{y}_x+q(x)y+\lambda w(x)y=0}$$ Où $p(x),q(x)$ sont des fonction données, $w(x)$ est la fonction de poids et $y$ est la fonction propre et $\lambda$ est la valeur propre, il peut y en avoir plusieurs.

Un problème de Sturm-Liouville est dit régulier sur $[a,b]$ si :

1. $p,q,w$ et $p^{\prime \prime }$ sont continus sur $[a,b]$
2. $p(x),w(x)>0\text{ sur }[a,b]$
3. Le problème a des condition limites séparables de la forme :$$\begin{array}{r}{\alpha }_{1}y(a)+{\alpha }_2{y}^{\prime }(a)=0\\ {\beta }_{1}y(b)+{\beta }_2{y}^{\prime }(a)=0\end{array}$$ Avec au moins un des alpha et un des betas non nuls.

Les propriétés principales d'un problème de Sturm-Liouville régulier sur interval $[a,b]$ sont :

1. L'ensemble des valeurs propres est infini dénombrable
2. À chaque valeur propre ${\lambda }_n$ est associée une fonction propre unique $y_n$ qui a $n-1$ zéros sur $[a,b]$ appelée la $n^e$ solution fondamentale.
3. Les fonctions propres sous forme normalisée forment une base orthonormale sous le produit scalaire de poids $w(x)$ de l'espace de Hilbert $L^2$ sur $[a,b]$ (grossièrement c'est l'ensemble qui contient la grande majorité des fonctions qu'on connait muni d'un produit scalaire), ce qu'on peut noter : $$⟨y_n,y_m⟩={\int }_a^b{y}_n(x)y_m(x)w(x)dx={\delta }_{nm}$$ où est la fonction delta de Kronecker qui donne $1$ si $n=m$ et $0$ autrement.

Le cas $y^{\prime \prime }+k^{2}y=0$

$y^{\prime \prime }+k^{2}y=0$ est un problème de Sturm-Liouville où $p(x)=1,q(x)=0,w(x)=1$,$\lambda =k^2$ il revient souvent dans la résolution d'EDPs par séparation de variables. On trouvera souvent que, le problème pour $\lambda <0$ ne donne pas de solution non triviale ou qui ont du sens physique, c'est pour cela qu'on s'intéressera surtout au cas $\lambda >0$ dont les résultats sont synthétisés dans le tableau suivant pour quelques conditions limites intéressantes.

La restriction des valeurs propres pour $\sin (k_{n}x)$ aux naturels non-nuls provient du fait qu'on ne considère pas la solution triviale comme une fonction propre, elle ne représente pas un mode du système.

Le cas $y^{\prime \prime }-k^{2}y=0$

$y^{\prime \prime }-k^{2}y=0$ est un problème de Sturm-Liouville où $p(x)=1,q(x)=0,w(x)=-1$. En général on aura $y(x)=a{e}^{kx}+b{e}^{-kx}=A\cosh (kx)+B\sinh (kx)$

$X(0)=0,X(L)=0$ $\Rightarrow$ Solution Triviale

$X^{\prime }(0)=0,X^{\prime }(L)=0$ $\Rightarrow$ Solution Triviale

$X(-L)=X(L),X^{\prime }(-L)=X^{\prime }(L)$ $\Rightarrow$ Solution Triviale

Le cas $y^{\prime \prime }=0$

$y^{\prime \prime }=0$ est un problème de Sturm-Liouville où $p(x)=1,q(x)=0,\lambda =0$. En général on aura $y(x)=Ax+B$.

Équation de Bessel

L'équation de Bessel : $x^2{y}_{xx}+x{y}_x+(x^2-{\alpha }^2)y=0$ peut être écrite sous le forme de Sturm-Liouville. $$x^2{y}_{xx}+x{y}_x+(x^2-{\alpha }^2)y=0\iff x{y}_{xx}+y_x+\left(x-\frac{{\alpha }^2}{x}\right)y=0$$ $$\iff \frac{d}{dx}(x{y}_x)+\left(1-\frac{{\alpha }^2}{x^2}\right)xy=0$$

Opérateurs Auto-Adjoint

Considérons le problème avec un opérateur différentiel linéaire $L$ sur une fonction $X$ : $$L(X)+k^{2}X=0$$ Soumise à des condition limites homogènes et linéaires en $x=0$ et $x=L$ : $$l(X){|}_0=0\text{et}r(X){|}_L=0$$ On a donc : $$L(X_n)+k_n^2{X}_n=0\forall n$$ Soient deux fonctions propres $X_n$ et $X_m$ à valeur propre distinctes, on peut écrire : $$X_m(L(X_n)+k_n^2{X}_n)=0\text{et}{X}_n(L(X_m)+k_m^2{X}_m)=0$$ Dont on prend la difference et après manipulation : $$\begin{array}{rl}{X}_{m}L(X_n)-X_{n}L(X_m)& =(k_m^2-k_n^2)X_n{X}_m\\ {\int }_0^L{X}_{m}L(X_n)-X_{n}L(X_m)dx& =(k_m^2-k_n^2){\int }_0^L{X}_n{X}_{m}dx\\ ⟨X_m,L(X_n)⟩-⟨X_n,L(X_m)⟩& =(k_m^2-k_n^2)⟨X_m,X_n⟩\end{array}$$ Où on a définit le produit scalaire dans l'espace de fonction : $$⟨X_m,X_b⟩={\int }_0^L{X}_n{X}_{m}dx$$ $⟨X_m,X_n⟩$ sont orthogonaux quand le terme de gauche de l'avant dernière égalité s'annule : $$⟨X_m,L(X_n)⟩=⟨X_n,L(X_m)⟩(m\ne n)$$ Cette égalité dépend non seulement de la nature de l’opérateur, mais aussi des conditions limites associées. Quand l'équation est vérifiée, on dit que l’opérateur $L$ muni des conditions aux limites données est auto-adjoint.

!!! Il se trouve que l'opérateur dans un problème de Sturm-Liouville régulier est auto-adjoint. !!!

La preuve pour $L=\frac{d}{d{x}^2}$ muni de conditions limites homogènes linéaires se fait par intégration par parties.

L'analogie entre les opérateurs auto-adjoints avec les matrices symétrique est très forte.