Équation de Diffusion
Forme Générale 1D
Qu'on vois parfois avec un terme source : Avec la diffusivité (éventuellement fonction de et de ; voir même de ). Si constant : parabolique. De la formule des caractéristiques on trouve qu'il n'y a pas de caractéristiques.
Un problème de diffusion se résout toujours à partir d'une condition initiale . Si le domaine est borné, on doit aussi imposer une condition sur chaque frontière.
Intégrale Conservée
Énergie
On peut montrer que l'intégrale de diminue avec le temps et donc l'énergie.
Solutions
Domaine Non Borné
Condition Initiale : Gaussienne
Problème non borné et de condition initiale : , la solution: D'intégrale : ne varie pas dans le temps. On peut donc aussi écrire:
Condition Initiale : Singularité
Si on considère plutôt la diffusion d'une "singularité d'intégrale totale " et placée à l'origine en , la solution sera: La condition initiale Gaussienne correspond à une singularité d'intégrale qui aurait diffusé pendant un temps. Le temps mesuré à partir de la condition initiale Gaussienne est ; celui mesuré à partir de la condition initiale singulière est .
Condition Initiale : cas général par convolution
On trouve la solution pour une distribution initiale quelconque en additionnant la contribution de chaque petit morceaux de à la solution. Dans le cas à une dimension spatiale, un morceaux infinitésimal correspond à une aire dont la contribution à la solution est : Qu'on intègre alors pour obtenir : On dit que la fonction : est la solution élémentaire (i.e. la "fonction de Green") de l'équation de diffusion en domaine non borné 1-D, la solution est alors la convolution entre la condition initiale et la fonction de Green :
En 2D/3D
L'équation de diffusion en plusieurs dimensions spatiales est donnée par :
Fonctions de Green
En 2D : En 3D :
Condition Initiale : Domaine Borné Périodique
On résout le problème par séparation de variables. On prend par exemple comme condition initiale , une fonction de période . La fonction sera de la forme , qui dans l'EDP donne : fonctions égales pour tout et fonctions constantes Ce qui nous donne un problème de Sturm-Liouville de valeur propre , (l'important est que ce sont des constantes, pas le nom qu'on leur donne) et d'opérateurs différentiels dérivée première et seconde. On sait par experience que seul les valeurs pour donneront des solutions triviales, on va donc noter . Comme les bornes dont de la forme : et , on sait donc que sera de la forme : Avec . On projette maintenant la condition initiale sur la base formée par les solutions du problème de Sturm-Liouville pour trouver les coefficients . Ceci ce fait avec le produit scalaire . Ce qui, par l'orthogonalité entre sinus et cosinus, nous donne : Maintenant qu'on l'expression de qui est , on peut trouver La solution est alors : Et on peut montrer que l'intervalle sur une période (ex : ou ) est conservée, la solution pour une demi période sera la même mais l'intégrale ne sera pas conservée.
Si la condition initiale était plus complexe, par exemple : Où est le nombre d'onde du mode et est sa longueur d'onde (à ne pas confondre avec la valeur propre du problème de Sturm-Liouville). La solution se trouve par superposition des solutions pour chaque mode : On constate que les modes à grand nombre d'onde ( élevé) décroissent beaucoup plus vite que les plus petits modes, les informations à haute fréquence se perdent très rapidement. C'est notamment pour cela qu'on ne peut pas remonter le temps et trouver l'état d'une diffusion dans un temps qui précède la condition initiale.
Domaine Semi-Infini
On a les condition suivantes sur l'axe positif et positif : On définit alors le changement de variables , ce qui nous donne les conditions suivantes sur : La solution peut se trouver en définissant la variable adimensionnelle et en supposant que la solution sera de la forme , on a par ailleurs les expression suivantes pour les dérivées de : Ce qui nous permet de développer les dérivées de : Qu'on substitue maintenant dans l'EDP de diffusion : Ce qui nous donne une EDO ! Pour la résoudre on définit : Avec l'unique condition limite on impose à : On a aussi que comme l'intégrale de doit être finie comme on est dans un cas physique et que donc on doit avoir une valeur nulle à l'infini : Où on a utilisé la valeur de l'intégrale de l'intégrale de Gauss .
On peut être satisfait par cette solution, ou on peut poser , On introduit alors les fonction "erreur" et "erreur complémentaires" : Ce qui nous permet d'écrire la solution sous la forme suivante :