Introduction

Terminologie

Une EDP est une équation qui fait intervenir une variable $u$ dépendante de $m$ variables indépendantes $x_1,x_2,\dots x_m$ et les dérivées partielles de $u$ par rapport à ces variables. Une telle équation est :

1. d'ordre $n$ quand la dérivée partielle d’ordre le plus élevé qu’elle contient est d’ordre $n$. Ex : $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, est d'ordre $2$, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$ est d'ordre $3$
2. homogène si elle ne contient que des termes faisant intervenir $u$ et ses dérivées partielles. Ex : $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, est d'ordre homogène, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=1$ n'est pas homogène, $\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=u$ non plus.
3. linéaire quand elle l’est par rapport à toutes les dérivées partielles de $u$ et par rapport à $u$. C'est à dire qu'on peut pas avoir de dérivées partielles à un $2$ par exemple ou dans une fonction trigonométrique.
4. quasi-linéaire quand elle l’est par rapport aux dérivées partielles d’ordre le plus élevé en chacune des variables. Même contrainte que linéaire mais limité aux dérivées partielles de plus grand ordre de chacune des variables.

Problème Bien Posé

Un problème est dit "bien-posé" si :

1. Le problème a une solution
2. La solution est unique
3. La solution dépend continuellement des données du problème.

Conditions Limites

Les conditions aux limites pour les équations aux dérivées partielles (EDP) sont cruciales pour déterminer une solution unique à un problème donné. Il existe trois types principaux de conditions aux limites:

1. Condition de Dirichlet : Cette condition spécifie la valeur de la solution le long d'une frontière du domaine. Par exemple, pour une EDP $u(x,t)$ définie dans un domaine $D$, la condition de Dirichlet peut être exprimée comme:$$u(x,t)=h(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ où $\partial D$ est la frontière de $D$ et $h(x,t)$ est une fonction donnée.

2. Condition de Neumann : Ici, c'est la dérivée normale de la solution qui est spécifiée à la frontière. Pour une EDP $u(x,t)$, la condition de Neumann est donnée par: $$\frac{\partial u}{\partial n}(x,t)=k(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ où $\frac{\partial u}{\partial n}$ est la dérivée de $u$ dans la direction normale à la frontière $\partial D$ et $k(x,t)$ est une fonction connue.

3. Condition de Robin (ou condition aux limites mixtes) : Cette condition est une combinaison linéaire des deux premières, où à la fois la fonction et sa dérivée normale sont spécifiées: $$a(x,t)u(x,t)+b(x,t)\frac{\partial u}{\partial n}(x,t)=g(x,t),\forall (x,t)\in \partial D$$ avec $a(x,t)$ et $b(x,t)$ des fonctions données sur la frontière, et $g(x,t)$ une autre fonction spécifiée.

Exemples (À Vérifier) :

• Dirichlet : Pour l'équation de la chaleur $u_t={\alpha }^2{u}_{xx}$ dans une barre métallique de longueur $L$, on peut avoir une température fixe aux deux extrémités, soit $u(0,t)=T_0$ et $u(L,t)=T_L$ pour tout temps $t$.

• Neumann : Pour la même équation de la chaleur, si les extrémités de la barre sont isolées thermiquement, la dérivée de la température par rapport à $x$ est nulle aux deux bouts, donc $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0$ et $\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0$.

• Robin : Si une extrémité de la barre est en contact avec un milieu dont la température est $T_m$ et que la loi de refroidissement de Newton s'applique, alors on pourrait avoir une condition de la forme $-k\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=h(u(L,t)-T_m)$, où $k$ est la conductivité thermique et $h$ est le coefficient de transfert de chaleur.

Domaines

Les types de domaines déterminent la nature de la solution et la méthode de résolution. Les trois principaux types de domaines sont:

1. Domaine borné : Le domaine est limité dans toutes les directions. Les conditions aux limites doivent être spécifiées sur la frontière finie du domaine pour obtenir une solution unique.

   Exemple: Pour l'équation de Laplace ${\nabla }^2\varphi =0$ dans une région rectangulaire, les valeurs de $\varphi$ doivent être données sur tout le périmètre pour résoudre l'EDP.

2. Domaine non borné : Au moins dans une direction, le domaine s'étend à l'infini. Les conditions aux limites à l'infini doivent souvent supposer que la solution devient nulle ou atteint une valeur constante.

   Exemple: L'équation de la chaleur $u_t={\alpha }^2{u}_{xx}$ sur une demi-droite $x>0$ peut avoir comme condition aux limites que $u(x,t)\to 0$ lorsque $x\to \infty$.

3. Domaine périodique : Le domaine est sans limites, mais la fonction solution est périodique. Cela signifie que la solution est la même à des points équidistants.

   Exemple: L'équation des ondes $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$ sur un cercle (modélisant une corde vibrante circulaire) requiert que $u(x,t)=u(x+L,t)$ où $L$ est la longueur de la corde.

Exemples détaillés :

• Domaine borné : Considérons l'équation de Poisson $-{\nabla }^2\varphi =\rho$ dans un carré avec des conditions de Dirichlet telles que $\varphi (x,y)=g(x,y)$ sur les bords du carré. Ici, $\rho$ représente une distribution de charge et $g(x,y)$ est le potentiel électrique sur la frontière.

• Domaine non borné : Pour l'équation de Schrödinger non stationnaire $i\hslash {\partial }_t\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi$ dans tout l'espace ${\mathbb{R}}^3$, on impose souvent que la fonction d'onde $\psi \to 0$ à l'infini pour garantir une probabilité totale finie.

• Domaine périodique : Dans le cas de l'équation de convection-diffusion $u_t+c{u}_x=\alpha u_{xx}$ sur un domaine périodique, on impose $u(x,t)=u(x+P,t)$ où $P$ est la période. Cela peut représenter la concentration d'un polluant dans une rivière circulaire.