Algèbre Abstraire

Groupes

Un groupe est un monoïde $(G,\ast )$ tel que :

• tous les éléments de $G$ possèdent un inverse par rapport à l'opérateur $\ast$. (La façon de trouver un inverse peut être unique à l'élément en question, il ne faut pas savoir trouver de forme générale pour l'inverse comme $1/a$ pour que tous les éléments soient inversibles)

Exemple(s) :

1. $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe, mais pas $(\mathbb{N},+)$
2. $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ et $({\mathbb{R}}^{>0},\times )$ sont des groupes
3. $S(A)$ est un groupe
4. $\mathbb{T}=\{e^{i\alpha }|\alpha \in \mathbb{R}\}$ muni de la multiplication est un groupe
5. L’ensemble des matrices orthogonales muni de la multiplication est un groupe
6. L’ensemble $A^A$ des transformations de $A$ muni de la composition n’est pas un groupe

Propriétés/Théorèmes :

1. L'ordre d'un groupe est le nombre d'éléments qu'il contient.

2. Si $a,b,c$ sont membres d'un groupe alors : $$ac=bc\text{ou}ca=cb\text{alors}a=b$$ (Note : $ab$ est une façon plus courte d'écrire $a\ast b$)

   Preuve : Soit $d=c^{-1}$. Alors : $$ac=bc\Rightarrow a=aϵ=acd=bcd=bϵ=b$$

3. Les inverses sont symétriques. Si $ab=ϵ$ alors $a=b^{-1}$ et $b=a^{-1}$

   Preuve : $$ab=ϵ\Rightarrow bab=b\Rightarrow bab{b}^{-1}=b{b}^{-1}\Rightarrow ba=ϵ$$

4. Si tous les éléments d'un monoïde possèdent un inverse à gauche, alors le monoïde est un groupe.

   Preuve :

   Soit $a$ un élément de $A$, $b$ son inverse à gauche et $c$ l'inverse à gauche de $b$. On commence avec $ba=1_A$ et on multiplie à gauche par $c$ : $c(ba)=c$ et on applique l'associativité : $c(ba)=c$ et donc $(cb)a=c$. On sait que $cb=1_A$ et donc $a=c$. Comme $a$ est inversible à gauche par définition et inversible à droite par son égalité à $c$ ($b$ est son inverse à droite), on a donc que $a$ est inversible et $A$ est un groupe.

Groupes commutatifs/abéliens

Un groupe $G$ est commutatif si :

• $a\ast b=b\ast a$ $\forall a,b\in G$

Exemple(s) :

Sous-Groupes

$H\subseteq G$ est un sous-groupe de $(G,\ast )$ si :

• $\forall x,y\in H$ on a $x\ast y\in H$ (stabilité)
• $1_A\in H$
• Si $x\in H$ alors $x^{-1}\in H$

Exemple(s) :

Propriétés/Théorèmes :

1. Si $H$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ alors $H=n\mathbb{Z}$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$

   Preuve : Si $H=\{0\}$, alors $H=0\mathbb{Z}$ Soit $H\ne \{0\}$ et $n$ le plus petit entier $>0$ de $H$

   • Vu que $H$ est un groupe, $\{0,n,-n,2n,-2n,\dots \}=n\mathbb{Z}\in H$
   • Soit $a\in H$. On peut écrire $a=qn+r$ avec $r\in \{0,\dots ,n-1\}$. On a $r=0$ car sinon $a-qn=r\in H$ est un entier positif $\le n$ Donc $H=\{0,n,-n,2n,-2n,\dots \}=n\mathbb{Z}$ $$ac=bc\Rightarrow a=aϵ=acd=bcd=bϵ=b$$

2. Les inverses sont symétriques. Si $ab=ϵ$ alors $a=b^{-1}$ et $b=a^{-1}$

   Preuve : $$ab=ϵ\Rightarrow bab=b\Rightarrow bab{b}^{-1}=b{b}^{-1}\Rightarrow ba=ϵ$$

3. Soit $H$ un sous-ensemble fini non-vide d'un groupe $G$. Si $H$ est stable, alors $H$ est un sous-groupe de $G$.

   Preuve : Soit $a\in H$ et $f:H\to H:x\to ax$

   On observe que $f$ est bijective

   Présence du neutre : Comme $f$ est bijective, $\exists b\in H:f(b)=a=ab$. Donc $b=ϵ$

   Présence de l'inverse : $\exists b\in H:f(b)=ϵ$. Donc $b=a^{-1}$

4. Théorème de Lagrange Soient $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$ tels que $|G|=n$ et $|H|=m$, alors $m$ divise $n$

   Preuve : Les classes latérales de $H$ sont toutes de taille $m$ et forment une partition de $G$ Donc $|G|=k|H|$ où $k$ est le nombre de classes latérales de $H$ On a donc : $|G/H|=|G|/|H|$

Classes Latérales/Suivant un Sous-Groupe $H$

Soit $H$ un sous-groupe de $G$. La classe latérale de $a\in G$ modulo $H$ est : $$aH=\{ax|x\in H\}$$

(ici, $ab$ signifie $a\ast b$ où $\ast$ est l'opérateur du groupe)

Exemple(s) :

1. $\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ : les classes latérales sont $\{x+a|x\in \mathbb{Z}\}$ avec $a\in [0,1]$
2. $\{(x,ax)|x\in \mathbb{R}\}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{R}}^2,+)$ (addition par composants) Les classes latérales sont $(x,ax+b),|,x\in \mathbb{R}$ avec $b\in \mathbb{R}$
3. $n\mathbb{Z}=\{nx|x\in \mathbb{Z}\}$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ Les classes latérales sont $\{nx+b,|,x\in \mathbb{Z}\}$ avec $b\in \{0,\dots ,n-1\}$
4. $\{2^i|i\in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{R}}^{>0},\ast )$ Les classes latérales sont $\{a\ast 2^i,|,i\in \mathbb{Z}\}$ avec $a\in [1,2)$

Propriétés/Théorèmes :

1. Il existe une bijection entre $aH$ et $H$.

   Preuve : Soit $f:G\to aH$ tel que $f(x)=ax$

   • $f$ est injective : Vu que $a$ est inversible, $a{x}_1=a{x}_2\Rightarrow x_1=x_2$
   • $f$ est surjective : Par définition de $aH$, tout $y\in aH$ est dans l'image de $f$ Donc $f$ est bijective

2. Les classes latérales distinctes modulo $H$ forment une partition de $G$. Une partition est un ensemble de sous-ensembles non-vides et disjoints dont l'union est l'ensemble de départ.

   Preuve : Soient $a_{1}H,a_{2}H,\dots$ les classes latérales modulo $H$

   • Tout élément de $G$ est dans une classe latérale Si $g\in G$ alors $g\in gH$ puisque $ϵ\in H$

   • Les classes latérales $aH$ et $bH$ sont disjointes ou identiques. Soient $a,b\in G$ et $x\in bH$. On montre que $x\in aH\iff b^{-1}a\in H$ (Ainsi, $aH=bH$ si $b^{-1}a\in H$ et $aH\cap bH=\varnothing$ sinon)

     $\Rightarrow$ Soit $x=a{h}_1=b{h}_2$ avec $h_1,h_2\in H$. On a : $a{h}_1=b{h}_2\Rightarrow a=b{h}_2{h}_1^{-1}\Rightarrow b^{-1}a=h_2{h}_1^{-1}\in H$

     $\Leftarrow$ Soit $b^{-1}a\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H$ et $x=b{h}_1=(a{a}^{-1})b{h}_1=a((a^{-1}b)h_1)\in aH$

3. Si $G$ est commutatif, alors $(ax)(bx)=(ab)(xy)$. En supposant que $x,y\in H$, $a^{\prime }=ax$ et $b^{\prime }=by$ cela implique que : $$a^{\prime }\in aH\text{et}{b}^{\prime }\in bH\Rightarrow (a^{\prime }{b}^{\prime })\in (ab)H$$ (Quand $H$ est clair dans le contexte, on écrit $[a]$ pour $aH$)

4. Soient $aH$ et $bH$, si il n'existe aucun $c\in G$ tel que $a\in cH$ et $b\in cH$ (dit autrement : si $a$ et $b$ ne partagent pas une même classe latérale) alors $aH\cap bH=\varnothing$. (Enfaite il s'agit en quelque sorte d'une reformulation de la propriété 2 mais je trouve que ça illustre mieux son utilité).

   Preuve : (ma preuve, pas encore vérifié par une autre personne mais, encore une fois, assez semblable à celle de la propriété 2)

   Par l'absurde, admettons qu'il existe un $c\in G$ tel que $c\in aH$ et $c\in bH$ alors que $a$ et $b$ ne sont trouvent pas dans une même classe, on en déduit les relations suivantes : $$c=a{h}_1\text{et}c=b{h}_2\iff h_1{h}_2^{-1}=a^{-1}b\in H$$ Or, si $a^{-1}b$ est dans $H$ on a $b$ dans $aH$ or $a$ est également dans $aH$ par la présence du neutre dans $H$ ce qui contredit le fait que $a$ et $b$ ne se trouvent pas dans une même classe.

Groupe Quotient

Le groupe quotient $G/H$ est le groupe commutatif formé de :

• l’ensemble des classes latérales de $G$ modulo $H$
• l’opérateur défini par $[a][b]=[ab]$ (Rappel : [a]=aH)
• le neutre défini par $[ϵ]=H$

Autre façon de le dire :

• Relation d’équivalence sur $G$ commutatif créée par le sous-groupe $H$ : $a\sim b$ ssi $a^{-1}b\in H$.
• Les classes d’équivalences sont précisément les classes latérales de $H$
• Le groupe quotient $G$ est le groupe $G$ quotienté par la relation d’équivalence

Exemple(s) :

a mod n

Soient $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{>1}$ $a$ mod $n$ est le reste de la division de $a$ par $n$

Addition modulo

On dit que ${\mathbb{Z}}_n=\{0,\dots ,n-1\}$ est muni de l'addition modulo $n$ si $a+b=r$ mod $n$

Exemples :

1. $2+4=1$ dans ${\mathbb{Z}}_5$
2. $1+3=0$ dans ${\mathbb{Z}}_4$

Propriétés/Théorèmes :

1. ${\mathbb{Z}}_n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ Preuve : Considérer $f:{\mathbb{Z}}_n\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ telle que $f(a)=[a]$

Sous-Groupe Engendré

Soit $G$ un groupe fini et $g\in G$.

Le sous-groupe $⟨g⟩$ engendré par $g$ est $⟨g⟩=\{g,g^2,g^3,\dots \}$. (On peut vérifier que l'ensemble $\{g,g^2,g^3,\dots \}$ est effectivement un sous-groupe et donc un groupe en vérifiant toutes les propriétés des groupes)

Exemples : soit $G={\mathbb{Z}}_6$

1. $⟨1⟩=\{1,2,3,4,5,0,1,\dots \}={\mathbb{Z}}_6$
2. $⟨2⟩=\{2,4,0,\dots \}⊊{\mathbb{Z}}_6$
3. $⟨3⟩=\{3,0,\dots \}⊊{\mathbb{Z}}_6$

Propriétés/Théorèmes :

1. Il existe $m$ tel que $g^m=ϵ$, vu que $⟨g⟩$ est un sous-groupe de $G$. L’ordre de $g$ est la plus petite valeur de $m$ telle que $g^m=ϵ$, c’est-à-dire $|⟨g⟩|$
2. Pour tout $g\in G$, l’ordre de $g$ divise $|G|$. (Résultat issu du théorème de Lagrange et du fait que $⟨g⟩$ est un sous-groupe de $G$)

Groupes cycliques

On dit que le groupe $G$ est cyclique si il existe $g$ tel que $⟨g⟩=G$

Propriétés/Théorèmes :

1. Si $G=⟨g⟩$ est d’ordre fini $n=|G|$, alors $g^n=ϵ$

   Preuve : Il doit exister $i$ tel que $g^i=ϵ$. Vu que les éléments de $G$ se répètent pour $j>i$, il faut que $i=n$ pour que $|⟨g⟩|=n$

2. Théorème [Euler-Fermat] : Si $G$ est d’ordre fini $n$, alors $g^n=ϵ$

   Preuve : Si $|⟨g⟩|=m$ alors $m$ divise $n$ vu que $⟨g⟩$ est un sous-groupe de $G$. Or, si $g^m=ϵ$, on a $g^{km}=ϵ$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ et donc $g^n=ϵ$

3. On dit que $G$ est cyclique si $|G|=n$. $G$ possède un unique sous-groupe $H$ d’ordre $m$ pour tout $m$ divisant $n$, et $H$ est cyclique.

   Preuve : Soit $⟨g⟩=G$.

   Alors $⟨g^{n/m}⟩=\{g^{n/m},g^{2n/m},g^{3n/m},\dots ,g^{(m-1)n/m},ϵ\}$ est un sous-groupe cyclique d’ordre $m$ de $G$. 3.

   Pour vérifier l’unicité, s’intéresser à $⟨h⟩$ où $h=g^i$ et $i$ est le plus petit entier $>0$ tel que $g^i\in H$.

   Notation Ordre d'un élément

   Dans le contexte des groupes multiplicatifs, l'ordre d'un élément $a$ d'un groupe $G$ est le plus petit entier positif $n$ tel que $a^n=1$, où 1 est l'élément neutre du groupe. Autrement dit, c'est le plus petit $n$ pour lequel, effectue l'operation $a$ par lui-même $n$ fois, on obtient l'élément neutre.

   Plus spécifiquement, dans le groupe multiplicatif ${\mathbb{Z}}_{13}^{\ast }$, l'ordre d'un élément $a$ est le plus petit nombre entier positif $n$ tel que $a^n\equiv 1\mathrm{mod}13$.

   Par exemple, si on veut trouver l'ordre de 2 dans ${\mathbb{Z}}_{13}^{\ast }$, on cherche le plus petit $n$ tel que $2^n\equiv 1\mathrm{mod}13$.

Le groupe multiplicatif ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$

Soit ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }=\{1,...,p-1\}$ avec $p$ premier, muni de la multiplication modulo $p$

Exemple(s) : ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }=\{1,2,3,4,5,6\}$

1. $3\times 4=5$
2. $3\times 5=1$

Propriétés/Théorèmes :

1. ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$ est un groupe

   Preuve :

   Stable : Si $p$ est premier, le produit $ij$ avec $1\le i,j<p$ ne sera jamais un multiple de $p$. Donc $ij\ne 0$ mod $p$ et $ij\in {\mathbb{Z}}_p^{\ast }$

   Neutre : $1$ est le neutre

   Inverse : Soit $a\in {\mathbb{Z}}_p^{\ast }$, et considérons la fonction $f:{\mathbb{Z}}_p^{\ast }\to {\mathbb{Z}}_p^{\ast }:f(x)\to ax$, $f$ est injective : si $f(i)=f(j)$ alors $ai=aj$ mod $p$ et $ai-aj=kp$ pour $k\in \mathbb{Z}$. Or, $a,i$ et $j$ ne sont pas multiples de $p$, donc $k=0$ et $i=j$. Donc $f$ est bijective, et $\exists b:ab=1$.