Algèbre Abstraire

Anneau

Un anneau est une structure $(A,+,\cdot )$ telle que :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif — on écrit $0$ pour son neutre.
• $(A,\cdot )$ est un monoïde — on écrit $1$ pour son neutre.
• La multiplication se distribue sur l'addition, à gauche et à droite : $$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\forall x,y,z\in A$$ $$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\forall x,y,z\in A$$

Un anneau est commutatif si la multiplication est commutative.

Exemple(s) :

1. $\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$ munis des opérations habituelles.
2. $\mathbb{R}[X]$, l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
3. ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ — non commutatif quand $n\ge 2$.

Propriété(s) :

1. $0$ est absorbant : $\forall r,0\cdot r=r\cdot 0=0$ On voit : $r=r\cdot 1=r\cdot (1+0)=r+0\cdot r\Rightarrow 0=0\cdot r$
2. Si $A$ est un anneau et $0=1$ alors $A=\{0\}$ On voit : $r=r\cdot 1=r\cdot 0=0$ pour tout $r\in A$
3. Si $(A,+,\cdot )$ est un anneau tel que $0\ne 1$, alors $(A,\cdot )$ n'est pas un groupe. On voit : $0$ n'est pas inversible, vu qu'il est absorbant

L'anneau $Z_n$

L'anneau $Z_n$ est défini comme: $$Z_n=\{0,1,\dots ,n-1\}$$ muni de l'addition modulaire et de la multiplication modulaire forme un anneau commutatif.

Proposition(s) :

1. Si $n$ est premier, alors $Z_n$ est un corps, souvent noté $F_n$.
2. Si $n$ est composé, alors $Z_n$ n'est pas un corps.

Preuve :

Soit $a\ne 1$ divisant $n$ et $b=\frac{n}{a}$. $$Alorsab\equiv 0\mathrm{mod}n$$ ce qui veut dire que $a$ est un diviseur de 0 et n'est donc pas inversible.

Corollaire :

Un élément $a\in Z_n$ est inversible si et seulement si: $$gcd(a,n)=1$$

Preuve :

Si $gcd(a,n)\ne 1$, alors $$a\cdot \frac{n}{gcd(a,n)}\equiv 0\mathrm{mod}n$$ Si $gcd(a,n)=1$ alors $an$ est le premier multiple de $a$ qui est un multiple de $n$, et $a$ ne divise donc pas 0.