Solutions

Exercice 3.7

1. Le groupe est de taille 12 et donc d'ordre 12. Une propriété des sous-groupes engendrés par $g\in G$ est que leur ordre divise l'ordre de $G$. Donc l'ordre de $g$ divise 12 (voir Sous-Groupe Engendré dans le chapitre sur les groupes). Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Donc les ordres possibles de $g$ sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

2. $⟨2⟩=\{2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1\}$, ordre $=12$

   $⟨3⟩=\{3,9,1\}$, ordre $=3$

   $⟨4⟩=\{4,3,12,9,10,1\}$, ordre $=6$

   $⟨5⟩=\{5,12,8,1\}$, ordre $=4$

3. On remarque premièrement que $⟨5⟩$ est un groupe (important). Comme les classes latérales forment une partition du groupe de départ et qu'elles sont de même taille, il faut qu'il y a 3 classes latérales modulo $⟨5⟩$ pour arriver à une partition d'ordre $12$. Ces classes sont :

   $⟨5⟩=\{5,12,8,1\}$

   $2⟨5⟩=\{10,11,3,2\}$

   $4⟨5⟩=\{7,9,6,4\}$

4. Comme tout élément de ${\mathbb{Z}}_{13}^{\ast }$ à la puissance $12$ donne $1$ (voir raisonnement de la sous-question $1$). On peut dire que $x^{2019}=5\iff x^{2016}{x}^3=5\iff x^3=5$. Maintenant on peut essayer tous les éléments de $G$ pour voir lequel à la puissance $3$ donne $5$ ou on remarque que $2$ est un élément générateur et que donc tout élément de $G$ peut être exprimé comme une puissance de $2$ et donc : $$(2^y{)}^3=2^9\iff 3y=9\text{mod}12$$

En ajoutant plusieurs fois $12$ à $9$ dans $3y=9$ et en regardant les valeurs possibles de $y$ on trouve $3,7,11$ ce qui donne des valeurs de $x$ : $8,11,7$ 5. On a trouvé que $11=2^7$ donc $2^{7n}=2$ donne $7n=1\text{mod12}$, ce qui donne $n=7$. Askip le fait que la solution est unique vient du fait que $\text{gcd}(7,12)=1$.

Exercice 3.8

On calcule les puissance de $3$ dans ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }$ ce qui donne : $3,2,6,4,5,1$. On en déduit que $x=2$ et $y=5$. Et donc $g^{10}=g^6{g}^4=4$. Encore une fois faut bien faire gaffe de prendre le modulo $6$ et pas $7$.