Definition de la linéarité :

Tout d'abord on réécrit notre équation de cette façon : $$\mathcal{L}u=0$$ $\mathcal{L}$ est un opérateur qui assigne u à une fonction. Exemple : $$\mathcal{L}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+1$$ $$\mathcal{L}u=u_{xx}+u$$ La fonction est alors considérée linéaire si : $$\mathcal{L}(u+v)=\mathcal{L}u+\mathcal{L}v,et\mathcal{L}(cu)=c\cdot \mathcal{L}u$$

Quasi-linéarité :

Une EDP est considérée comme quasi-linéaire si elle est linéaire par apport aux dérivées de plus grand ordre pour chacune des variable. Je conseille d'aller voir les exemples dans le cours si besoin.