EDP du premier ordre

L'EDP quasi-linéaire la plus générale à 2 variables indépendantes s'écrit : $$P\frac{\partial u}{\partial x}+Q\frac{\partial u}{\partial y}=R$$ avec $P,Q,R$ qui sont fonctions de $x,y,u$

L'EDP linéaire la plus générale à 2 variables indépendantes s'écrit : $$P\frac{\partial u}{\partial x}+Q\frac{\partial u}{\partial y}+Gu=F$$ avec $P,Q,G,F$ qui sont fonctions de $x,y$ (On peut noter $R=F-Gu$). Elle sont homogènes quand $F=0$ et quand $R=0$.

Point important à savoir, toutes les EDP du premier ordre sont dites hyperboliques donc elles ont toutes des caractéristiques.

Equation de transport

L'équation de transport est une EDP spécifique sous la forme : $$c\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}=0$$ Avec $c$ qui peut varier en fonction de $x$ ou $t$.

Cette EDP a une particularité spécifique très intéressante qui est que l'intégrale de la fonction en $x$ est conservée pour tout $t$, d'où le nom d'équation de transport. En effet, il y a 2 cas :

• $c$ est constant :

La fonction $u$ a l'exacte même forme en tout t elle vas juste se déplacer dans l'éspace.

• $c$ est fonction de x ou de $t$ :

La fonction u sera déformée mais en gardant toujours cette propriété $\int \frac{\partial u}{\partial x}dt=0$