Équation d'onde

Avant de commencer a en parler, commençons par définir l'équation d'onde.

La voici, dans la plus classique de ses formes:

$c^{2} \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial x ^{2}} - \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial t ^{2}} = 0$

Méthode du changement de variable

Il existe, pour cette EDO en tout cas, un changement de variable très malin permettant de la résoudre assez directement.

$ξ = x - c t$ $η = x + c t$

Prenons donc $ξ$ et $η$ comme variables.

La fonction $ϕ (x, t)$ deviendra donc $ϕ (ξ, η)$

Note

Malgré ce changement de variables, $ϕ$ reste défini pour tout l'espace. On sait que

$x = \frac{1}{2} (η + ξ)$

$t = \frac{1}{2} (η - ξ)$

Chaque point $(x, t)$ peut donc être associé a un point $(η, ξ)$ .

Suite a ce changement de variable, nous pouvons également calculer les opérateurs différenciels $\frac{\partial}{\partial x}$ et $\frac{\partial}{\partial t}$ vis a vis de ces variables. (En utilisant la règle de la chaine)

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}$

$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial t}$

Et comme nous connaissons l'expression de $ξ$ et $η$ , nous connaissons également leur dérivées. Ce qui permet d'écrire plus simplement (en remplaçant les dérivées connues par leur valeur):

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial ξ} + \frac{\partial}{\partial η}$

$\frac{\partial}{\partial t} = c \frac{\partial}{\partial η} - c \frac{\partial}{\partial ξ}$

Il est également possible de calculer les opérateurs de dérivée seconde en mettant chacune des expressions au carré:

$\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2}}{\partial ξ ^{2}} + 2 \frac{\partial}{\partial ξ} \frac{\partial}{\partial η} + \frac{\partial ^{2}}{\partial η ^{2}}$

$\frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} = c^{2} (\frac{\partial ^{2}}{\partial ξ ^{2}} - 2 \frac{\partial}{\partial ξ \partial η} + \frac{\partial ^{2}}{\partial η ^{2}})$

Maintenant que nous avons fait tout ce travail fastidieu, on peut enfin remplacer tout cela dans l'équation d'onde:

$c^{2} \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial x ^{2}} - \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial t ^{2}} = 0$

$c^{2} (\frac{\partial ^{2}}{\partial ξ ^{2}} + 2 \frac{\partial}{\partial ξ \partial η} + \frac{\partial ^{2}}{\partial η ^{2}}) - c^{2} (\frac{\partial ^{2}}{\partial ξ ^{2}} - 2 \frac{\partial}{\partial ξ \partial η} + \frac{\partial ^{2}}{\partial η ^{2}}) = 0$

Ce qui équivaut après simplification a une fonction d'onde bien plus simple:

$4 c^{2} \frac{\partial}{\partial ξ \partial η} = 0$

Ce qui mène donc a la conclusion que :

$\frac{\partial}{\partial ξ \partial η} = 0$

Il est donc possible de connaitre la forme de $ϕ (ξ, η)$ en intégrant cette équation:

$\int d η \int \frac{\partial}{\partial ξ \partial η} d ξ = \int d ξ \int 0 d η$ $ϕ (ξ, η) = \int c_{1} (ξ) d ξ$ $ϕ (ξ, η) = f_{1} (ξ) + f_{2} (η)$ $ϕ (x, t) = f_{1} (x - c t) + f_{2} (x + c t)$

Important

$f_{1}$ et $f_{2}$ apparaissent avec les constantes d'intégration (en effet, intégrer 0 en $η$ donne une constante par rapport à $η$ qu'on appelle $c_{1}$ mais qui pouvant dépendre de $ξ$ )

Maintenant que nous connaissons la forme de la solution, pourquoi ne pas essayer de trouver cette solution !

Comme c'est le cas pour toutes les EDP du deuxième ordre, il nous faut 2 conditions initiales afin de pouvoir trouver une solution.

Explorons différent cas !

Le cas le plus simple

Prenons comme courbe $Γ$ définie par $x (s) = s$ et $c t (s) = 0$ (autrement dit, l'axe $O x$ )

Et prenons comme conditions initiales :

$ϕ (s, 0) = f (s)$ $\frac{\partial ϕ}{\partial t} (s, 0) = 0$

Connaissant la forme de la solution: $ϕ (x, y) = f_{1} (x - c t) + f_{2} (x + c t)$ , on sait que:

$ϕ (s, 0) = f (s) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$

Et comme nous le dit la première condition initiale, en $t = 0$ :

(avec $ξ = s - c t$ et $η = s + c t$ ):

$\frac{\partial ϕ}{\partial t} (s, 0) = 0$ $f_{1}^{'} (ξ) \frac{\partial ξ}{\partial t} + f_{2}^{'} (η) \frac{\partial η}{\partial t} = 0$ $- c f_{1}^{'} (s) + f_{2}^{'} (s) c = 0$ $f_{1}^{'} (s) = f_{2}^{'} (s)$

Et selon le théorème fondamental de l'analyse:

$f_{1} = f_{2} + C$

Important

Cette égalité $f_{1}^{'} = f_{2}^{'}$ n'est a priori valable que lorsque t = 0, car elle provient de la première condition initiale en t = 0.

Mais comme avec la contrainte t = 0 il est toujours possible d'atteindre tout le domaine de $f_{1}$ et $f_{2}$ , l'égalité sera respectée même lorsque t ne vaut pas 0

(D'une manière plus intuitive, comme on connait $f_{1}$ et $f_{2}$ sur tout l'axe Ox, et que le paramètre t provoque juste une translation sur ce même axe ( $x \pm c t$ ), on connaitra toujours la valeur pour un t non nul, qui correspondra a la valeur d'un autre x en t=0.)

On peut donc conclure que $f_{1}$ est égal à $f_{2}$ a une constante près. On peut substituer $f_{1}$ par $f_{2} + C$ dans l'expression de la solution pour écrire:

$ϕ (x, 0) = f (x) = f_{2} (x) + f_{2} (x) + C$ $f_{2} (x) = \frac{f ( x ) - C}{2}$

et en suivant le même raisonnement dans l'autre sens:

$f_{1} (x) = \frac{f ( x ) + C}{2}$

Et que donc:

$ϕ (x, t) = \frac{1}{2} (f_{1} (x - c t) + f_{2} (x + c t)$

LEPL1103 - Notes

Équation d'onde

Méthode du changement de variable

Le cas le plus simple